Home / Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ

Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ

Κωδικός Μαθήματος:

EEE.2.1

Εξάμηνο:

Β' Εξάμηνο

Κατηγορία:

ΜΓΥ

Ώρες:

4

Μονάδες ECTS:

5


ΜΑΘΗΣΙΑΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Οι φοιτητές/ήτριες που θα παρακολουθήσουν το μάθημα θα είναι σε θέση να κατανοούν και να εφαρμόζουν τις βασικές έννοιες της διανυσματικής ανάλυσης στο χώρο. Θα γνωρίζουν τη διαφορά διανυσματικών και βαθμωτών συναρτήσεων. Με τη χρήση των εφαρμογών της μερικής παραγώγισης, θα μπορούν να λύνουν εφαρμοσμένα προβλήματα προσέγγισης και βελτιστοποίησης. Επιπλέον, θα μπορούν να εφαρμόζουν διπλή ολοκλήρωση. Ακόμα, θα μπορούν να υπολογίζουν επικαμπύλια και επιφανειακά ολοκληρώματα, να μελετούν διανυσματικά πεδία και να εξετάζουν εάν είναι συντηρητικά. Θα μάθουν τόσο τη μαθηματική, όσο και τη φυσική διάσταση των εννοιών που συνδέονται με τα θεωρήματα Gauss, Green και Stokes. Τέλος, θα μπορούν να χειρίζονται βασικά θέματα του λογισμού μιγαδικών συναρτήσεων (ολοκλήρωση, συνθήκες Cauchy-Riemann, ολοκληρωτικά υπόλοιπα, πόλοι, κτλ) και των μιγαδικών σειρών.

 

Γενικές Ικανότητες

  • Αναλυτική και συνθετική εργασία με σύνθετες Μαθηματικές έννοιες για την επίλυση προβλημάτων σε βασικά πεδία της επιστήμης και της Μηχανικής.
  • Αυτόνομη εργασία.
  • Ικανότητα μετατροπής βασικών φυσικών προβλημάτων σε αντίστοιχα μαθηματικό-υπολογιστικά προβλήματα.
  • Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης.
  • Ανάλυση και σύνθεση Μαθηματικών διαδικασιών και με τη χρήση του υπολογιστή.
  • Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον.
  • Λήψη αποφάσεων ανάλογα με τη λύση του Μαθηματικού Προβλήματος.

 

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Το μάθημα είναι οργανωμένο σε 26 δίωρες διαλέξεις.

  1. Ενότητα 1η «Διανυσματικός Λογισμός και Λογισμός Συναρτήσεων πολλών Μεταβλητών»
    • Διάλεξη 1: Εισαγωγή στο Λογισμό Συναρτήσεων δύο ή Περισσοτέρων Μεταβλητών.
      Μερικές Παράγωγοι και Εφαρμογές τους.
    • Διάλεξη 2: Κλίση, κατά Κατεύθυνση Παράγωγος, Ολικό Διαφορικό.
    • Διάλεξη 3: Μέγιστα- Ελάχιστα Συναρτήσεων δύο Μεταβλητών. Η Ευθεία Ελαχίστων Τετραγώνων ως Πρόβλημα Ελαχιστοποίησης.
    • Διάλεξη 4: Δεσμευμένα Ακρότατα -Πολλαπλασιαστές Lagrange.
  2. Ενότητα 2η «Διπλά Ολοκληρώματα και Εφαρμογές»
    • Διάλεξη 5: Συστήματα Συντεταγμένων (πολικές, κυλινδρικές κ.λ.π).
    • Διάλεξη 6: Εισαγωγή στα Διπλά Ολοκληρώματα. Ασκήσεις-Εφαρμογές.
    • Διάλεξη 7: Διπλά Ολοκληρώματα σε Πολικές Συντεταγμένες, Μετασχηματισμοί στην Διπλή Ολοκλήρωση.
  3. Ενότητα 3η «Τριπλά Ολοκληρώματα και Εφαρμογές»
    • Διάλεξη 8: Εισαγωγή, Τριπλά Ολοκληρώματα σε Κυλινδρικές και Σφαιρικές Συντεταγμένες.
      Ασκήσεις, Παραδείγματα.
  4. Ενότητα 4η «Επικαμπύλια Ολοκληρώματα α’ και β’ είδους»
    • Διάλεξη 9: Εισαγωγή στον Διανυσματικό Λογισμό στον Τρισδιάστατο Χώρο και στις
      Διανυσματικές Συναρτήσεις στο Χώρο. Ιδιότητες, Θεωρήματα, Εφαρμογές-Ασκήσεις, Παραδείγματα.
    • Διάλεξη 10: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα α’ Είδους και Εφαρμογές τους.
    • Διάλεξη 11: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα β’ Είδους , Φυσική Ερμηνεία, Εφαρμογές,
      Ασκήσεις και Παραδείγματα.
  5. Ενότητα 5η «Πεδία και Διαφορικοί Τελεστές»
    • Διάλεξη 12: Διανυσματικά Πεδία, Κλίση και Απόκλιση Πεδίων.
    • Διάλεξη 13: Τελεστής Laplace και Hamilton, Αρμονικές Συναρτήσεις, Εφαρμογές.
    • Διάλεξη 14: Στροβιλισμός, Συντηρητικά Πεδία, Συναρτήσεις Δυναμικού.
    • Διάλεξη 15: Ακριβείς Διαφορικές Μορφές, Ασκήσεις, Παραδείγματα.
  6. Ενότητα 6η «Επιφανειακά Ολοκληρώματα: Θεωρία και Εφαρμογές»
    • Διάλεξη 16: Επιφανειακά Ολοκληρώματα, Θεωρήματα των Green, Gauss και Stokes,
      Μαθηματική Θεώρησή τους.
    • Διάλεξη 17: Σύνδεση Μαθηματικής και Φυσικής διάστασης των ανωτέρω Θεωρημάτων.
    • Διάλεξη18: Εφαρμογές στη Φυσική, Ασκήσεις.
  7. Ενότητα 7η «Λογισμός Μιγαδικών Συναρτήσεων»
    • Διάλεξη 19: Λογισμός Μιγαδικών Συναρτήσεων, Πεδίο ορισμού, Όρια και συνέχεια, Εκθετική Συνάρτηση.
    • Διάλεξη 20: Κλάδοι λογαρίθμου, Τριγωνομετρικές Μιγαδικές Συναρτήσεις.
    • Διάλεξη 21: Αναλυτικές συναρτήσεις, Εξισώσεις Cauchy-Riemann.
    • Διάλεξη 22: Ολοκλήρωση Μιγαδικών Συναρτήσεων.
    • Διάλεξη 23: Πόλοι Μιγαδικών Συναρτήσεων.
    • Διάλεξη 24: Σειρές Μιγαδικών Αριθμών.
    • Διάλεξη 25: Εφαρμογές, Παραδείγματα, Ασκήσεις.
  8. Ενότητα 8η «Σύνοψη της ύλης και επανάληψη.»
    • Διάλεξη 26: Επανάληψη των Εννοιών που Αναπτύχθηκαν στις Παραπάνω Διαλέξεις.

 

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ

Η αξιολόγηση βασίζεται κυρίως στη τελική γραπτή εξέταση που γίνεται κατά τη διάρκεια των εξεταστικών περιόδων.

 

ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ελληνική:

  1. Ανώτερα Μαθηματικά για Μηχανικούς, Erwin Kreyszig, Εκδόσεις Τζιόλα, 2018.
  2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις και Μιγαδικές Συναρτήσεις, Ν. Σταυρακάκης, Τσότρας, 2016.
  3. Μαθηματικά για Μηχανικούς, Γεωργούδης, Πρεζεράκος, Μακρυγιάννης, Σύγχρονη Εκδοτική, 2016.
  4. Μαθηματικά ΙΙ, Μασούρος Χ. Τσίτουρας Χ., Εκδόσεις Τσότρας, 2015.
  5. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, Χατζαράκης Γ. – Μυλωνάς Ν. Εκδόσεις Τζιόλας, 2018.
  6. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, FINNEY R.L., WEIR M.D., GIORDANO F.R., Παν. Εκδ. Κρήτης, 2015.

 

Ξενόγλωσση:

  1. Thomas Calculus, 11th edition, Wier, Hass, Jiordano, Pearson AW.
  2. Methods of Engineering Mathematics, E. Hang and K.K. Choi, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
  3. Complex Variables and the Laplace Transforms for Engineers, W.R. LePage, Dover Publications, New York.
  4. Introductory Complex Analysis, R. Silverman, Dover.
  5. Advanced Engineering Mathematics, K.A. Stroud D. Booth, Palgrave Macmillan.
  6. Advanced Calculus for Applications, F.B. Hildebrand, Prentice Hall.

 

Συναφή επιστημονικά περιοδικά:

  1. Journal of Engineering Mathematics
  2. Topological Methods in Nonlinear Analysis and Applications
  3. Applicable Analysis and Applications
  4. Discrete and Continues Dynamical Systems
  5. Nonlinear Analysis TMA
  6. Nonlinear Functional Analysis and Applications
  7. International Journal of Nonlinear Analysis and Applications