Μαθηματική Ανάλυση Ι

ΜΑΘΗΣΙΑΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του Μαθήματος, ο/η φοιτητής/ήτρια θα μπορεί να εφαρμόσει τη γνώση που έλαβε, στα άλλα γνωστικά αντικείμενα που θα μελετήσει στις σπουδές του. Πιο συγκεκριμένα, ο/η φοιτητής/ήτρια θα μπορεί να εργάζεται στο σώμα των μιγαδικών αριθμών και να τους αναπαριστά στην τριγωνομετρική και την εκθετική τους μορφή και να υπολογίζει ρίζες και δυνάμεις τους. Επίσης, ο/η φοιτητής/ήτρια θα μπορεί να βρίσκει και να εξετάζει τη σύγκλιση και τα όρια σε συναρτήσεις, ακολουθίες και σειρές. Θα μπορεί να αναγνωρίζει γνωστές καμπύλες του επιπέδου. Ο/η φοιτητής/ήτρια θα ξέρει να εφαρμόζει την παράγωγο σε διάφορες εφαρμογές της και να αναπτύσσει συναρτήσεις σε σειρές Taylor. Επιπλέον, θα κατέχει τις βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης και θα τις εφαρμόζει για τον υπολογισμό αόριστων, ορισμένων και γενικευμένων ολοκληρωμάτων. Παράλληλα, θα κατανοεί τις έννοιες της διανυσματικής ανάλυσης, των διανυσματικών συναρτήσεων και των συστημάτων συντεταγμένων στο επίπεδο. Τέλος, ο/η φοιτητής/ήτρια ής θα είναι σε θέση να αναγνωρίζει τις διαφορικές εξισώσεις (π.χ. διαφορικές εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών) να τις λύνει με τη χρήση ολοκληρωτικού λογισμού, γνωρίζοντας παράλληλα και το πεδίο εφαρμογών τους σε βασικά πεδία της Eπιστήμης και της Μηχανικής.

 

Γενικές Ικανότητες

• Αναλυτική και συνθετική εργασία με σύνθετες Μαθηματικές έννοιες για την επίλυση προβλημάτων σε βασικά πεδία της επιστήμης και της Μηχανικής.
• Αυτόνομη εργασία.
• Ικανότητα μετατροπής βασικών φυσικών προβλημάτων σε αντίστοιχα μαθηματικό-υπολογιστικά προβλήματα.
• Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης.
• Ανάλυση και σύνθεση Μαθηματικών διαδικασιών και με τη χρήση του υπολογιστή.
• Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον.
• Λήψη αποφάσεων ανάλογα με τη λύση του Μαθηματικού Προβλήματος.

 

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Το μάθημα είναι οργανωμένο σε 26 δίωρες διαλέξεις.

1. Ενότητα 1η «Μιγαδικοί Αριθμοί»
   Διάλεξη 1: Εισαγωγή στους Μιγαδικούς Αριθμούς, Ορισμός Μιγαδικού Αριθμού, Άλγεβρα Μιγαδικών, Συζυγής Μιγαδικού και μέτρο του.
   Διάλεξη 2: Γεωμετρική αναπαράσταση, τριγωνομετρική μορφή, εκθετική μορφή, πολική μορφή και λογαριθμική μορφή μιγαδικών. Τύπος του Euler, Θεώρημα De Moivre, ρίζες μιγαδικών.
2. Ενότητα 2η «Ακολουθίες-Σειρές»
   Διάλεξη 3: Ακολουθίες, Συναρτήσεις, Είδη Σειρών.
   Διάλεξη 4: Δυναμοσειρές, Θεωρήματα Σύγκλισης, Ακτίνα Σύγκλισης.
   Διάλεξη 5: Όρια: Ορισμοί, βασική θεωρία, σύγκλιση, ιδιότητες.
   Διάλεξη 6: Εφαρμογές, Ασκήσεις και Παραδείγματα στα διάφορα είδη Σειρών.
3. Ενότητα 3η «Καμπύλες Επιπέδου»
   Διάλεξη 7: Καμπύλες του επιπέδου, Αναλυτικές εξισώσεις (ευθεία, κωνικές τομές, παραβολή, έλλειψη, κύκλος, υπερβολή, περιστροφή, μεταφορά, προβολή, κ.τ.λ).
   Διάλεξη 8: Γνωστές καμπύλες από την Ανάλυση (εκθετικές, τριγωνομετρικές και οι αντίστροφές τους, λογαριθμικές, κ.τ.λ), Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις. Το μοντέλο της εκθετικής αύξησης. Παραδείγματα.
4. Ενότητα 4η «Διαφορικός Λογισμός»
   Διάλεξη 9 : Παράγωγος συνάρτησης, Γεωμετρική ερμηνεία. Κανόνες παραγώγισης και υπολογισμοί παραγώγων (λογαριθμική παραγώγιση, κανόνας αλυσίδας, παράγωγος πεπλεγμένης μορφής συνάρτησης, παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης).
   Διάλεξη 10: Εφαρμογές: Η παράγωγος ως κλίση της εφαπτομένης. Η παράγωγος ως στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής. Προβλήματα ελαχίστου -μεγίστου.
   Διάλεξη 11: Γραμμικοποίηση, διαφορικό και εφαρμογές του. Αναπτύγματα Taylor και εφαρμογές, σφάλματα και όριά τους.
5. Ενότητα 5η «Ολοκληρωτικός Λογισμός»
   Διάλεξη 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα, Ορισμός αντιπαραγώγου. Ιδιότητες και βασικοί κανόνες ολοκλήρωσης.
   Διάλεξη 13: Τεχνικές ολοκλήρωσης: Ολοκλήρωση με αντικατάσταση, Παραγοντική ολοκλήρωση.
   Διάλεξη 14: Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Άλλες κατηγορίες ολοκληρωμάτων.
   Διάλεξη15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα, Ορισμοί, Άθροισμα Riemman. Βασικές ιδιότητες. Θεωρήματα ολοκληρωτικού λογισμού και σύνδεση με αόριστο ολοκλήρωμα.
   Διάλεξη 16: Υπολογισμοί εμβαδών. Μήκος τμήματος καμπύλης. Υπολογισμοί όγκων εκ’ περιστροφής. Προσεγγιστικός υπολογισμός ολοκληρώματος με αναπτύγματα Taylor.
6. Ενότητα 6η «Γενικευμένα Ολοκληρώματα»
   Διάλεξη 17: Γενικευμένο ολοκλήρωμα α’,β’,γ΄ είδους, ορισμοί, υπολογισμοί γενικευμένων ολοκληρωμάτων. Ασκήσεις.
   Διάλεξη 18: Γεωμετρική ερμηνεία γενικευμένων ολοκληρωμάτων, συναρτήσεις που ορίζονται ως γενικευμένα ολοκληρώματα π.χ. συνάρτηση γάμμα. Εφαρμογές, παραδείγματα.
7. Ενότητα 7η «Διανυσματικός Λογισμός»
   Διάλεξη 19: Διανυσματικός Λογισμός στο επίπεδο (ορισμοί, άλγεβρα, διάνυσμα θέσης, μέτρο, προβολή, γωνία διανυσμάτων, εσωτερικό γινόμενο).
   Διάλεξη 20: Συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, καρτεσιανές – πολικές συντεταγμένες. Ολοκλήρωση σε πολικές συντεταγμένες, εφαρμογές (μήκος τόξου καμπύλης). Ασκήσεις.
   Διάλεξη 21: Διανυσματικές Συναρτήσεις, Ορισμός διανυσματικών συναρτήσεων. Συνέχεια, όρια, διαφορισιμότητα. Παράγωγοι και γεωμετρική τους ερμηνεία.
   Διάλεξη 22: Αόριστο και ορισμένο ολοκλήρωμα διανυσματικών συναρτήσεων. Εφαρμογές π.χ. Μήκος τόξου καμπύλης. Ασκήσεις, παραδείγματα.
8. Ενότητα 8η «Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις πρώτης τάξης»
   Διάλεξη 23: Εισαγωγή στις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, ορισμοί, ύπαρξη λύσης, γεωμετρία λύσεων. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.
   Διάλεξη 24: Διαφορικές εξισώσεις άμεσα ολοκληρώσιμες, διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών. Ασκήσεις, παραδείγματα.
   Διάλεξη 25: Εφαρμογές στην ειδικότητα π.χ. κυκλώματα και ερμηνεία των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων.
9. Ενότητα 9η «Σύνοψη της ύλης και επανάληψη»
   Διάλεξη 26: Επανάληψη των εννοιών των παραπάνω διαλέξεων με παραδείγματα και ασκήσεις.

 

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ

Η αξιολόγηση βασίζεται κυρίως στη τελική γραπτή εξέταση που γίνεται κατά τη διάρκεια των εξεταστικών περιόδων.

 

ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ελληνική:

1. Απειροστικός Λογισμός, Briggs, Cochran and Gillett, Κριτική Α.Ε., 2018.
2. Απειροστικός Λογισμός, Hass, Heil, Weir, Παν. Εκδ. Κρήτης, 2018.
3. Γενικά Μαθηματικά, Βρυζίδης, Μακρυγιάννης, Σάσσαλος, Σύγχρονη Εκδοτική, 2016.
4. Γενικά Μαθηματικά, Μασούρος Χ. Τσίτουρας Χ., Εκδόσεις Τσότρας, 2016.
5. Ανώτερα Μαθηματικά, Μυλωνάς Ν. Εκδόσεις Τζιόλα, 2017.
6. Απειροστικός Λογισμός Ι, Finney R.L., Weir M.D., Giordano F.R., Παν. Εκδ. Κρήτης, 2015.

 

Ξενόγλωσση:

1. Handbook of Mathematical Functions, M. Abramowitz and I. Stegun, Dover, New York.
2. Ordinary Differential Equations, V. Arnold, Springer-Verlag, Berlin.
3. Ordinary Differential Equations (4th Edition), G. Birkhoff and G-C. Rota, John Wiley and Sons, New York.
4. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (6th Edition), W.E. Boyce and R. C. DiPrima, John Wiley and Sons, New York.
5. Introduction to Calculus and Analysis (volume I and II), R. Courant and F. John, Wiley International Editions, New York.
6. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems, C.H. Edwards and D.E. Penney, Prentice Hall, Inc., New Jersey.
7. Engineering Mathematics, K.A. Stroud, D. Booth, Macmillan.
8. Calculus for Scientists and Engineers, W. Briggs, L. Cochran, B. Gillet, Pearson Higher Education.

 

Συναφή επιστημονικά περιοδικά:

1. Journal of Engineering Mathematics
2. Journal of Differential Equations
3. Electronic Journal of Differential Equations
4. Journal of Nonlinear Analysis and Applications