Αριθμητική Ανάλυση

ΜΑΘΗΣΙΑΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Οι φοιτητές/ήτριες που θα ολοκληρώσουν με επιτυχία το μάθημα: Αριθμητική Ανάλυση,

• θα γνωρίζουν να λύνουν προσεγγιστικά βασικά μαθηματικά προβλήματα.
• Θα κατανοήσουν την έννοια του σφάλματος υπολογισμών και της συσσώρευσης του στις προσεγγιστικές λύσεις.
• Θα δύναται να εφαρμόζουν επαναληπτικές μεθόδους για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων, έχοντας κατανοήσει τις έννοιες της σύγκλισης ή μη αυτών των μεθόδων.
• Θα μπορούν να λύνουν γραμμικά συστήματα εξισώσεων με άμεσες ή επαναληπτικές μεθόδους, έχοντας κατανοήσει τη σημασία αυτών των μεθόδων στις εφαρμογές που συναντώνται στις επιστήμες του Μηχανικού.
• Θα έχουν κατανοήσει τις διαφορές της προσέγγισης και παρεμβολής και θα μπορούν να αξιοποιούν τις μεθόδους που διδάχθηκαν για τη μελέτη δεδομένων. Θα μπορούν να προσεγγίζουν τιμές ολοκληρωμάτων και τέλος θα κατανοούν την έννοια της αριθμητικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων.
• Έχοντας κατακτήσει όλο αυτό το υπόβαθρο γνώσεων θα μπορούν να χρησιμοποιούν και να τροποποιούν, εάν το επιθυμούν, τους αλγόριθμους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων που μπορούν να βρουν σε μαθηματικό λογισμικό που είναι δημοφιλές στους Μηχανικούς, όπως το Matlab για παράδειγμα.

 

Γενικές Ικανότητες

• Αναλυτική και συνθετική εργασία με σύνθετες Μαθηματικές έννοιες για την επίλυση προβλημάτων σε βασικά πεδία της επιστήμης και της Μηχανικής.
• Αυτόνομη εργασία.
• Ομαδική Εργασία
• Ικανότητα μετατροπής βασικών φυσικών προβλημάτων σε αντίστοιχα μαθηματικό-υπολογιστικά προβλήματα.
• Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης.
• Ανάλυση και σύνθεση Μαθηματικών διαδικασιών και με τη χρήση του υπολογιστή.
• Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον.
• Λήψη αποφάσεων ανάλογα με τη λύση του Μαθηματικού Προβλήματος.

 

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Το μάθημα είναι οργανωμένο σε 13 δίωρες διαλέξεις.

1. 1. Ενότητα 1η «Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, Σφάλματα και προσεγγίσεις»
      • Διάλεξη 1: Τι είναι Αριθμητική Ανάλυση, η σημαντικότητά της. Καταστροφές από λάθη στις προσεγγίσεις. Πως υλοποιούνται στον υπολογιστή οι μεθοδολογίες της.
      • Διάλεξη 2: Προσεγγίσεις και Θεωρία σφαλμάτων.
   2. Ενότητα 2η «Προσεγγιστικοί υπολογισμοί ριζών μη γραμμικών εξισώσεων»
      • Διάλεξη 3 : Μέθοδοι Εγκλεισμού (μέθοδος της Διχοτόμησης, μέθοδος Regula Falsi)
      • Διάλεξη 4 : Γενική επαναληπτική μέθοδος, Μέθοδος Newton και παραλλαγές της.
   3. Ενότητα 3η «Αριθμητική Επίλυση γραμμικών Συστημάτων»
      • Διάλεξη 5: Άμεσες μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Μέθοδοι Gauss, LU.
      • Διάλεξη 6: Επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Μέθοδοι Jacobi, Gauss-Seidel.
   4. Ενότητα 4η «Μεθοδολογίες προσέγγισης συναρτήσεων»
      • Διάλεξη 7: Παρεμβολή και Προσέγγιση συναρτήσεων και δεδομένων. Μέθοδοι
        Παρεμβολής Lagrange, Newton.
      • Διάλεξη 8: Προσέγγιση με τη μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων.
   5. Ενότητα 5η «Αριθμητική Παραγώγιση και ολοκλήρωση »
      • Διάλεξη 9α: Προσεγγιστικοί υπολογισμοί παραγώγων.
      • Διάλεξη 9β: Προσεγγιστικοί υπολογισμοί ολοκληρωμάτων. Μέθοδος τραπεζίου
      • Διάλεξη 10: Μέθοδος Simpson και 3/8. Σύνθετες μέθοδοι.
   6. Ενότητα 6η «Αριθμητική Επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων »
      • Διάλεξη 11 : Προσεγγιστικές μέθοδοι επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων, Μέθοδος Euler.
      • Διάλεξη 12: Μέθοδος Improved Euler, μέθοδος Runge Kutta.
   7. Ενότητα 7η «Σύνοψη της ύλης και επανάληψη.»
      • Διάλεξη 13: Επανάληψη των εννοιών που αναπτύχθηκαν στις παραπάνω διαλέξεις,
        Ασκήσεις, Εφαρμογές

 

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ

Η αξιολόγηση βασίζεται στη τελική γραπτή εξέταση κατά 70% που γίνεται στη διάρκεια των εξεταστικών περιόδων και κατά 30% στην εργασία που θα αναλάβει κάθε φοιτητής/τρια και θα την παρουσιάσει και στους συνάδελφούς του.

 

ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ελληνική:

1. Αριθμητική Ανάλυση, Εισαγωγή, Μ. Βραχάτης, Εκδόσεις Κλειδάρισθμος
2. Αριθμητική Ανάλυση με εφαρμογές σε Matlab και Mathematica, Τσίτουρας, Παπαγεωργίου Εκδόσεις Τσότρα
3. Αριθμητικές Μέθοδοι Για Μηχανικούς, Chapra C., Cannale Raymond, Εκδόσεις Τζιόλα

 

Ξενόγλωσση:

1. Numerical Analysis , Burden R., Faires J. D, Brooks\Cole
2. A First Course in Numerical Analysis, A. Ralston, Ph. Rabinowitz, Mc Graw Hill
3. Numerical Methods using Matlab, J. Mathews, K. Fink, Pearson Prentice Hall
4. Applied Numerical Analysism C. Gerald, P. O. Wheatley, Addison Wesley
5. Applied Numerical Analysis Using Matlab, L. Fausett, Pearson Prentice Hall

 

Συναφή επιστημονικά περιοδικά:

1. SIAM Journal on Numerical Analysis
2. International Journal for Numerical Methods in Engineering
3. Applied Numerical Mathematics
4. Journal of Computational and Applied Mathematics
5. Numerical Algorithms
6. Numerische Mathematik