Διαφορικές Εξισώσεις – Μετασχηματισμοί

ΜΑΘΗΣΙΑΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Οι φοιτητές που θα παρακολουθήσουν επιτυχώς το μάθημα θα είναι σε θέση να επιλύουν διαφορικές εξισώσεις πρώτης και ανώτερης τάξης, καθώς και συστήματα αυτών. Επίσης, να μελετούν εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων σε προβλήματα Μηχανικής, Θερμοδυναμικής, Ηλεκτρομαγνητισμού, Κυκλωμάτων. Ακόμα, να βρίσκουν ανεξάρτητες λύσεις μιας διαφορικής εξίσωσης και να χρησιμοποιούν την μέθοδο των σειρών για την επίλυσή της. Τέλος, οι φοιτητές/ήτριες θα είναι ικανοί να εφαρμόζουν τον Μετασχηματισμό Laplace στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων, καθώς επίσης και σε διαφορικές εξισώσεις που μοντελοποιούν ηλεκτρικά κυκλώματα. Θα μάθουν πως να αναπτύσσουν τη σειρά Fourier μιας περιοδικής συνάρτησης και να σχεδιάζουν το φάσμα συχνοτήτων της. Θα μπορούν να χρησιμοποιούν τον μετασχηματισμό Fourier για τη μελέτη των συστημάτων μεταφοράς. Τέλος, θα εξοικειωθούν ανάλογα και με τη χρήση του Μετασχηματισμού Z.

 

Γενικές Ικανότητες

• Αναλυτική και συνθετική εργασία με σύνθετες Μαθηματικές έννοιες για την επίλυση προβλημάτων σε βασικά πεδία της επιστήμης και της Μηχανικής.
• Αυτόνομη εργασία.
• Ικανότητα μετατροπής βασικών φυσικών προβλημάτων σε αντίστοιχα μαθηματικό-υπολογιστικά προβλήματα.
• Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης.
• Ανάλυση και σύνθεση Μαθηματικών διαδικασιών και με τη χρήση του υπολογιστή.
• Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον.
• Λήψη αποφάσεων ανάλογα με τη λύση του Μαθηματικού Προβλήματος.

 

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Το μάθημα είναι οργανωμένο σε 26 δίωρες διαλέξεις.

1. Ενότητα 1η «Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης»
   • Διάλεξη 1: Εισαγωγή, Γραμμικές Εξισώσεις, Εξισώσεις Bernoulli, Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις.
   • Διάλεξη 2: Πλήρεις-Μη Πλήρεις Διαφορικές Εξισώσεις, Πολλαπλασιαστής Euler.
2. Ενότητα 2η «Στοιχεία Ποιοτικής Αναλυτικής Θεωρίας»
   • Διάλεξη 3: Θεωρήματα Ύπαρξης και Μονοσήμαντου των λύσεων ( Picard και Peano),
     Μέγιστο Διάστημα Ύπαρξης και Επέκτασης της λύσης, Ανίσωση Gronwall.
3. Ενότητα 3η «Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης και Ανώτερης Τάξης»
   • Διάλεξη 4: Ομογενείς και Μη-Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις, Μέθοδος
     Προσδιορισμού των Συντελεστών (Euler).
   • Διάλεξη 5: Μέθοδος Μεταβολής των Σταθερών (Lagrange).
4. Ενότητα 4η «Μέθοδος Δυναμοσειρών»
   • Διάλεξη 6: Βασικές Έννοιες, Ιδιότητες, Κριτήρια και Ακτίνα Σύγκλισης, Πράξεις
     Δυναμοσειρών, Λύση-Σειρά γύρω από Ομαλό Σημείο, Ασκήσεις.
   • Διάλεξη 7: Λύση-Σειρά γύρω από Κανονικό Ανώμαλο Σημείο, Ασκήσεις.
5. Ενότητα 5η «Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων»
   • Διάλεξη 8: Γραμμικά Συστήματα με Σταθερούς Συντελεστές, Ομογενή Συστήματα,
     Αυτοσυζυγή Συστήματα.
   • Διάλεξη 9: Εκθετικός Πίνακας, Μη-Αυτοσυζυγή Συστήματα, Είδη Ιδιοτιμών, Ασκήσεις.
6. Ενότητα 6η «Ευστάθεια κατά Lyapunov-Προβλήματα Συνοριακών Τιμών»
   • Διάλεξη 10: Ευστάθεια Γραμμικών Συστημάτων, Γενική Θεωρία, Αυτόνομα Γραμμικά Συστήματα.
   • Διάλεξη 11: Ευστάθεια Σχεδόν Γραμμικών Συστημάτων στο Επίπεδο, Γραμμικοποίηση.
   • Διάλεξη 12: Προβλήματα Sturm-Liouville.
7. Ενότητα 7η «Μετασχηματισμός Laplace»
   • Διάλεξη 13: Μετασχηματισμός Laplace (ML), Ιδιότητες, Θεωρήματα, Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace. Ασκήσεις.
   • Διάλεξη 14: Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων με ML. Ασκήσεις.
   • Διάλεξη 15: Εφαρμογές του ML στα Κυκλώματα RL,RC,LC,RLC και στα Συστήματα
     Μεταφοράς. Ασκήσεις.
8. Ενότητα 8η «Σειρές και Μετασχηματισμός Fourier»
   • Διάλεξη 16: Τριγωνομετρική και Εκθετική Μορφή Σειρών Fourier. Υπολογισμός Συντελεστών Fourier, Διακριτό Φάσμα Φάσεων και Πλατών (φάσμα συχνοτήτων, φάσμα ενέργειας, κ.τ.λ).
   • Διάλεξη 17: Επέκταση Σειρών Fourier (ημιτονική, συνημιτονική κ.τ.λ), Εισαγωγή στον Μετασχηματισμό Fourier.
   • Διάλεξη 18: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier, Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier.
     Ασκήσεις, παραδείγματα.
   • Διάλεξη 19: Εφαρμογές στα Συστήματα, στα Ηλεκτρικά Κυκλώματα, στις Συναρτήσεις
     Μεταφοράς. Ασκήσεις.
9. Ενότητα 9η «Μετασχηματισμός Ζ»
   • Διάλεξη 20: Μετασχηματισμός Ζ, Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ, Ιδιότητες. Ασκήσεις.
   • Διάλεξη 21: Εφαρμογές του Μετασχηματισμού Ζ στην Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών.
   • Διάλεξη 22: Εφαρμογές του Μετασχηματισμού Ζ σε Συστήματα Μεταφοράς. Ασκήσεις
10. Ενότητα 10η «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις»
    • Διάλεξη 23: Γενικές Έννοιες, Ταξινόμηση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων Δεύτερης Τάξης, Εφαρμογές, Ασκήσεις.
    • Διάλεξη 24: Γραμμικές 2ης Τάξης με Σταθερούς Συντελεστές, η Λύση D’ Alembert της Κυματικής Εξίσωσης, Προβλήματα.
    • Διάλεξη 25: Εξισώσεις Ελλειπτικού Τύπου, Συνοριακές Συνθήκες Dirichlet, Εξίσωση Poisson με Συνθήκες Τύπου Dirichlet, Προβλήματα.
    • Διάλεξη 26: Πολικές Συντεταγμένες, Το Πρόβλημα Dirichlet σε Δίσκο και σε Δακτύλιο.

 

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ

Η αξιολόγηση βασίζεται κυρίως στη τελική γραπτή εξέταση που γίνεται κατά τη διάρκεια των εξεταστικών περιόδων.

 

ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ελληνική:

1. Διαφορικές Εξισώσεις: Συνήθεις και Μερικές, Σταυρακάκης Ν., Εκδόσεις Τσότρας, 2019.
2. Ανώτερα Μαθηματικά για Μηχανικούς, Erwin Kreyszig, Εκδόσεις Τζιόλα, 2018.
3. Διαφορικές Εξισώσεις, Μετασχηματισμοί και Μιγαδικές Συναρτήσεις, Ν Μυλωνάς, Χ Σχοινάς, Εκδόσεις Τζιόλα, 2015.
4. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, Αλεξανδρόπουλος, Βρυζίδης, Σύγχρονη Εκδοτική, 2016.
5. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, Χατζαράκης Γ. – Μυλωνάς Ν. Εκδόσεις Τζιόλας, 2018.

 

Ξενόγλωσση:

1. Handbook of Differential Equations of Applied Mathematics, D. Zwillinger, Academic Press, San Diego, (3rd Edition), 1998.
2. Fourier Series, W. Bolton.
3. Laplace Transforms, Schaum’s Outlines.
4. Differential Equations, A systems approach, Goldberg and Potter, Prentice Hall.
5. Fourier Series and Boundary Value Problems (5th Edition), J. W. Brown and R. Churchill, Mc Graw-Hill int. Edition, New York.
6. Laplace Transforms and an Introduction to Distributions, P.B. Guest, Ellis Horwood, New York.
7. Methods of Engineering Mathematics, E. Hang and K.K. Choi, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
8. Laplace Transforms for Electronic Engineers, J.G. Holbrook, Pergamon Press.
9. Complex Variables and the Laplace Transforms for Engineers, W.R. LePage, Dover Publications, New York.
10. Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
11. Laplace and the Z-transform, A.C. Grove, (Nottingham Polytechnic), Prentice Hall.
12. Signals and Systems, A. Oppenheim – A. Willsky (M.I.T) and S. Nawab (Boston University), Prentice Hall.
13. Advanced Engineering Mathematics, K.A. Stroud D. Booth, Palgrave Macmillan.
14. The Transforms and Applications Handbook, A. Poularikas, CRC Press.

 

Συναφή επιστημονικά περιοδικά:

1. Journal of Engineering Mathematics
2. Journal of Differential Equations
3. Electronic Journal of Differential Equations
4. Journal of Fourier Analysis and Applications
5. Topological Methods in Nonlinear Analysis and Applications
6. Applicable Analysis and Applications
7. Discrete and Continues Dynamical Systems
8. Nonlinear Analysis TMA
9. Nonlinear Functional Analysis and Applications
10. International Journal of Nonlinear Analysis and Applications.