Γραμμική Άλγεβρα

ΜΑΘΗΣΙΑΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του Μαθήματος ο/η φοιτητής/ήτρια θα μπορεί να λύνει γραμμικά συστήματα εξισώσεων. Θα μπορεί με επιτυχία να χειρίζεται πράξεις πινάκων και να υπολογίζει τον αντίστροφό τους. Θα είναι σε θέση να υπολογίζει την τιμή οριζουσών πινάκων με τη χρήση ιδιοτήτων των οριζουσών. Θα έχει κατανοήσει την έννοια του διανυσματικού χώρου της βάσης του και της διάστασης του και να εξετάζει τη γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων και να βρίσκει τις βάσεις και τη διάσταση διανυσματικού χώρου. Ο/η φοιτητής/ήτρια θα μπορεί να εξετάζει εάν κάποια απεικόνιση είναι γραμμική, να υπολογίζει τον πίνακα αναπαράστασης της, τον χώρο εικόνα και το μηδενοχώρο της και να έχει κατανοήσει την έννοια του ισομορφισμού και της αντίστροφης απεικόνισης. Θα μπορεί να υπολογίζει τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα πινάκων, τον ιδιοχώρο τους και να τους διαγωνοποιεί. Ο/η φοιτητής/ήτρια Θα κατανοεί την έννοια της νόρμας πίνακα, του χώρου με νόρμα και της ορθογωνιότητας. Θα μπορεί να τριγωνοποιεί και να διαγωνοποιεί συγκεκριμένες κατηγορίες πινάκων. Τέλος, ο/η φοιτητής/ήτρια θα γνωρίσει τις εφαρμογές της Γραμμικής Άλγεβρας σε διάφορα επιστημονικά πεδία.

 

Γενικές Ικανότητες

• Αναλυτική και συνθετική εργασία με σύνθετες Μαθηματικές έννοιες για την επίλυση προβλημάτων σε βασικά πεδία της επιστήμης και της Μηχανικής.
• Αυτόνομη εργασία.
• Ικανότητα μετατροπής βασικών φυσικών προβλημάτων σε αντίστοιχα μαθηματικό-υπολογιστικά προβλήματα.
• Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης.
• Ανάλυση και σύνθεση Μαθηματικών διαδικασιών και με τη χρήση του υπολογιστή.
• Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον.
• Λήψη αποφάσεων ανάλογα με τη λύση του Μαθηματικού Προβλήματος.

 

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Το μάθημα είναι οργανωμένο σε 26 δίωρες διαλέξεις.

1. Ενότητα 1η «Επίλυση Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων»
   Διάλεξη 1: Μελέτη και επίλυση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο Gauss.
   Διάλεξη 2: Εφαρμογές και παραδείγματα.
2. Ενότητα 2η «Πίνακες και ορίζουσες»
   Διάλεξη 3: Ορισμός Πινάκων, κατηγορίες Πινάκων και Άλγεβρα Πινάκων. Ίχνος πίνακα.
   Διάλεξη 4: Εφαρμογές πινάκων. Ορισμός Ανάστροφου και Αντιστρόφου Πίνακα.
   Διάλεξη 5: Υπολογισμός αντίστροφου πίνακα με γραμμοπράξεις. Επίλυση συστημάτων με χρήση αντίστροφου πίνακα.
   Διάλεξη 6: Ορίζουσες (Ορισμός Οριζουσών, πράξεις, κτλ). Επίσης υπολογισμός Οριζουσών (2 επί2, 3 επί 3, κτλ). Ιδιότητες οριζουσών (με παραδείγματα).
   Διάλεξη 7: Εφαρμογές στις Ορίζουσες. Επίλυση συστημάτων με ορίζουσες και συσχετισμός τους με τους πινάκες.
3. Ενότητα 3η «Διανυσματικοί Χώροι»
   Διάλεξη 8: Εισαγωγή στους Διανυσματικούς χώρους και υποχώρους. Ορισμοί. Γραμμική Θήκη. Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία.
   Διάλεξη 9: Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου.
   Διάλεξη 10: Βαθμός Πίνακα. Εφαρμογές και παραδείγματα.
   Διάλεξη 11: Ασκήσεις, παραδείγματα και Εφαρμογές.
4. Ενότητα 5η «Γραμμικές Απεικονίσεις»
   Διάλεξη 12 : Εισαγωγή στις Γραμμικές απεικονίσεις. Πίνακας γραμμικής απεικόνισης.
   Διάλεξη 13: Πίνακας αλλαγής βάσης. Χώρος εικόνας, μηδενοχώρος,
   Διάλεξη 14: Ισομορφισμοί και αντίστροφη απεικόνιση. Εφαρμογές και παραδείγματα.
5. Ενότητα 6η «Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα»
   Διάλεξη 15: Χαρακτηριστικά μεγέθη πινάκων (Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα).
   Διάλεξη 16: Ιδιότητες χαρακτηριστικών μεγεθών. Ιδιοχώροι, αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. Θεώρημα Galey-Hamilton.
   Διάλεξη 17: Ομοιότητα και Διαγωνοποίηση πινάκων.
   Διάλεξη 18: Ασκήσεις και εφαρμογές.
6. Ενότητα 7η «Χώροι με νόρμα»
   Διάλεξη 19: Χώροι με νόρμα. Ορισμοί. Εσωτερικό γινόμενο, Νόρμες. Ορθογωνιότητα και προβολή.
   Διάλεξη 20: Ορθοκανονικές Βάσεις. Ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt.
   Διάλεξη 21: Συμμετρικοί πίνακες και διαγωνοποίηση.
   Διάλεξη 22: Θετικά ορισμένοι πίνακες. Τετραγωνικές μορφές. Ασκήσεις και εφαρμογές.
7. Ενότητα 8η «Τριγωνοποίηση και διαγωνοποίηση πινάκων ειδικής μορφής.»
   Διάλεξη 23: Θεώρημα του Schur, Εφαρμογές.
   Διάλεξη 24: QR Παραγοντοποίηση.
   Διάλεξη 25: Κανονική Μορφή Jordan.
8. Ενότητα 9η «Σύνοψη της ύλης και επανάληψη.»
   Διάλεξη 26: Επανάληψη των εννοιών που αναπτύχθηκαν στις παραπάνω διαλέξεις,
   Ασκήσεις, Εφαρμογές

 

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ

Η αξιολόγηση βασίζεται κυρίως στη τελική γραπτή εξέταση που γίνεται κατά τη διάρκεια των εξεταστικών περιόδων.

 

ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ελληνική:

1. Γραμμική Άλγεβρα, Δονάτος Γ. Αδάμ Μαρία, Εκδόσεις Gutenberg.
2. Γραμμική Άλγεβρα και εφαρμογές, G. Strang, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
3. Γραμμική Άλγεβρα, Ανδρέας Αθανασιάδης, Εκδόσεις Τζιόλα

 

Ξενόγλωσση:

1. Linear Algebra, L. Smith, Springer Verlag, New York.
2. Elementary Differential Equations with Linear Algebra, A.L. Rabenstein, Academic Press, inc.
3. An Introduction to Differential Equations and Linear Algebra, St. W. Goode, Prentice-Hall, int. Editions, London.
4. Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, W.H. Hirsch and S. Smale, Academic Press, New York.
5. Linear Algebra and Ordinary Differential Equations, A. Jeffrey, Blackwell Scient. Publ. Oxford.
6. Linear Algebra (2nd Edition), R. A. Beaumont, Harcourt Brace Jovanovich inc.
7. Linear Algebra, W. Greub, Springer-Verlag.
8. Linear Algebra with Applications, Keith. Nicholson, PWS Publishing Company.
9. Elementary Linear Algebra, S. Grossman, Saunders College Publishing.

 

Συναφή επιστημονικά περιοδικά:

1. Linear Algebra and Its Applications
2. The Electronic Journal of Linear Algebra (ELA)
3. Advances in Linear Algebra & Matrix Theory